\(ab\le\frac{a^2+b^2}{2}\le\frac{16}{2}=8\)

Ta có: \(N^2=\left(a\sqrt{9b\left(a+8b\right)}+b\sqrt{9a\left(b+8a\right)}\right)^2\)

\(\le\left(a^2+b^2\right)\left[9b\left(a+8b\right)+9a\left(b+8a\right)\right]\)

\(\le16\left(18ab+72\left(a^2+b^2\right)\right)\le16\left(18.8+72.16\right)\)

\(=20736\)

=> \(N\le144\)

Dấu "=" xảy ra <=> a = b = \(\sqrt{8}\)

Vậy max N = 144 tại a = b = \(\sqrt{8}\)

By C-S and AM-GM's inequality

\(M=a\left(9b\left(a+8b\right)\right)^{\dfrac{1}{2}}+b\left(9a\left(b+8a\right)\right)^{\dfrac{1}{2}}\)

\(\le\left(\left(a^2+b^2\right)\left(9b\left(a+8b\right)+9a\left(b+8a\right)\right)\right)^{\dfrac{1}{2}}\)

\(=\left(\left(a^2+b^2\right)\left(18ab+72b^2+72a^2\right)\right)^{\dfrac{1}{2}}\)

\(=\left(\left(a^2+b^2\right)\left(18\cdot\dfrac{a^2+b^2}{2}+72b^2+72a^2\right)\right)^{\dfrac{1}{2}}\)

\(=\left(16\cdot\left(18\cdot\dfrac{16}{2}+72\cdot16\right)\right)^{\dfrac{1}{2}}=144\)

\("="\Leftrightarrow a=b=2\sqrt{2}\)

Ta có \(\sqrt{bc\left(1+a^2\right)}=\sqrt{bc+a^2bc}=\sqrt{bc+a\left(a+b+c\right)}\)

\(=\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}\)

Đặt BT đề cho là P

\(\Leftrightarrow P=\sum\dfrac{a}{\sqrt{bc\left(1+a^2\right)}}=\sum\sqrt{\dfrac{a}{a+b}\cdot\dfrac{a}{a+c}}\\ \Leftrightarrow P\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{a}{a+c}+\dfrac{b}{b+c}+\dfrac{b}{b+a}+\dfrac{c}{c+a}+\dfrac{c}{c+b}\right)\\ \Leftrightarrow P\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{a+b}{a+b}+\dfrac{b+c}{b+c}+\dfrac{c+a}{c+a}\right)=\dfrac{1}{2}\cdot3=\dfrac{3}{2}\)

Dấu \("="\Leftrightarrow a=b=c=\sqrt{3}\)

Đề bài hình như bị sai em, thay điểm rơi ko thỏa mãn

Biểu thức là \(a+b+\sqrt{2\left(a+c\right)}\) mới đúng

em cũng nghĩ thế mới dùng đc BDT AM-GM 3 số đúng ko thầy :)

Hai bài giống hệt nhau về cách làm:

Cho a, b, c > 0 thoả mãn: \(a b c=\sqrt{a} \sqrt{b} \sqrt{c}=2\). Chứng minh rằng: \(\dfrac{\sqrt{a}}{a 1} \dfrac{\sqrt{... - Hoc24

2M\(\le\)a(9b+4a+5b)+b(9a+4b+5a)  (AM-GM)

     =4(a²+b²)+28ab\(\le\)4(a²+b²)+14(a²+b²)  (AM-GM)

                                =36 (do a²+b²=2)

=> M \(\le\)18

 Dấu bằng có <=> a=b=1